Численное решение задачи определения начального условия в задаче Коши для гиперболического уравнения с малым параметром
DOI:
https://doi.org/10.26089/NumMet.v27r102Ключевые слова:
обратная задача, гиперболическое уравнение, сингулярное возмущение, метод квазиобращения, численные методыАннотация
В статье рассматривается обратная задача определения начального условия для сингулярно возмущенного гиперболического уравнения с малым параметром. Неизвестная нечетная функция находится с использованием дополнительных данных о производной решения в фиксированной пространственной точке. Основной результат работы состоит в сведении исходной некорректной задачи к интегральному уравнению Вольтерра второго рода, для численного решения которого разработан итерационный метод. Проведены вычислительные эксперименты, подтверждающие эффективность алгоритма.
Библиографические ссылки
A. N. Tikhonov and V. Ia. Arsenin, Methods for Solving Incorrect Problems (Nauka, Moscow, 1986) [in Russian].
A. M. Denisov, Introduction to the Theory of Inverse Problems (Mosk. Gos. Univ., Moscow, 1994) [in Russian].
M. M. Lavrentév, V. G. Romanov, and S. P. Shishatskii, Ill-Posed Problems of Mathematical Physics and Analysis (Nauka, Moscow, 1980) [in Russian].
V. K. Ivanov, V. V. Vasin, and V. P. Tanana, Theory of Linear Ill-Posed Problems and Its Applications (Nauka, Moscow, 1978) [in Russian].
V. G. Romanov, Inverse Problems of Mathematical Physics (Nauka, Moscow, 1984) [in Russian].
S. I. Kabanikhin, Inverse and Ill-Posed Problems (Sib. Nauchn. Izd., Novosibirsk, 2009) [in Russian].
R. Lattes and J.-L. Lions, The Method of Quasi-inversion and Its Applications (Mir, Moscow, 1970) [in Russian].
V. K. Ivanov, “The Quasi-inversion Problem for the Heat Equation in the Uniform Metric,” Differ. Uravn. 8 (4), 652–658 (1972).
https://www.mathnet.ru/de1532 Cited January 19, 2026.
A. A. Samarskii and P. N. Vabishchevich, Numerical Methods for Solving Inverse Problems of Mathematical Physics (Editorial URSS, Moscow, 2004) [in Russian].
E. V. Tabarintseva, L. D. Menikhes, and A. D. Drozin, “On solving an inverse boundary problem for a parabolic equation by the quasi-revesibility method,” Vestn. Yuzhno-Ural. Gos. Univ., Ser. Mat. Mekh. Fiz., No. 6, 8–13 (2012).
https://www.mathnet.ru/rus/vyurm100 Cited January 19, 2026.
A. I. Korotkii, I. A. Tsepelev, and A. T. Ismail-Zadeh, “Numerical Modeling of the Inverse Retrospective Problem of Thermal Convection with Applications to Geodynamic Problems,” Izv. Ural. Gos. Univ., No. 58, 78–87 (2008).
http://elar.urfu.ru/handle/10995/24610 Cited January 20, 2026.
A. M. Denisov, “Approximate Solution of an Inverse Problem for a Singularly Perturbed Integro-Differential Heat Equation,” Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 63 (5), 795–802 (2023) [Comput. Math. Math. Phys. 63 (5), 837–844 (2023)].
https://doi.org/10.1134/S0965542523050081 Cited January 20, 2026.
N. Levashova, A. Gorbachev, R. Argun, and D. Lukyanenko, “The Problem of the Non-Uniqueness of the Solution to the Inverse Problem of Recovering the Symmetric States of a Bistable Medium with Data on the Position of an Autowave Front,” Symmetry 13 (5), Article Number 860 (2021).
doi 10.3390/sym13050860
D. V. Lukyanenko, A. A. Borzunov, and M. A. Shishlenin, “Solving Coefficient Inverse Problems for Nonlinear Singularly Perturbed Equations of the Reaction-Diffusion-Advection Type with Data on the Position of a Reaction Front,” Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 99, Article Number 105824 (2021).
doi 10.1016/j.cnsns.2021.105824
D. V. Lukyanenko, M. A. Shishlenin, and V. T. Volkov, “Asymptotic Analysis of Solving an Inverse Boundary Value Problem for a Nonlinear Singularly Perturbed Time-Periodic Reaction-Diffusion-Advection Equation,” J. Inverse Ill-Posed Probl. 27 (5), 745–758 (2019).
doi 10.1515/jiip-2017-0074
A. M. Denisov, “Approximate Solution of Inverse Problems for the Heat Equation with a Singular Perturbation,” Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 61 (12), 2040–2049 (2021) [Comput. Math. Math. Phys. 61 (12), 2004–2014 (2021)].
doi 10.1134/S0965542521120071
A. M. Denisov and S. I. Solovéva, “Numerical Solution of Problems of Determining the Initial Condition in Cauchy Problems for a Hyperbolic Equation with a Small Parameter,” Prikl. Mat. Inform. 54, 5–12 (2017).
A. M. Denisov, “Asymptotic Expansions of Solutions to Inverse Problems for a Hyperbolic Equation with a small Parameter Multiplying the Highest Derivative,” Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 53 (5), 744–752 (2013) [Comput. Math. Math. Phys. 53 (5), 580–587 (2013)].
https://doi.org/10.1134/S0965542513050047 Cited January 21, 2026.
B. M. Budak, A. A. Samarskii, and A. N. Tikhonov, A Collection of Problems on Mathematical Physics (Gostekhizdat, Moscow, 1956) [in Russian].
A. N. Tikhonov and A. A. Samarskii, Equations of Mathematical Physics , 4th ed. (Nauka, Moscow, 1972) [in Russian].
H. Bateman, Higher Transcendental Functions , Vol. 2 (McGraw-Hill, New York, 1953).
Загрузки
Опубликован
Выпуск
Раздел
Лицензия
Copyright (c) 2026 Д.С. Андрианов
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.
