The structure of a stable manifold for fully implicit schemes
Keywords:
stationary distribution, product of matrices, integral equation, Jacobi equationAbstract
An analog of the Hadamard-Perron theorem on the existence of a local stable manifold in a neighborhood of a fixed hyperbolic-type point for implicit mappings is proved. This result allows one to constructively study the structure of a manifold for a finite-difference approximation in time in the case of quasilinear parabolic-type equations and to prove that, in terms of the integral metric, the manifold of the nonlinear problem exists in an unbounded ellipsoid. Several theoretical estimates are given. A number of numerical results are discussed.
References
Аносов Д.В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны // Тр. матем. ин-та им. В.,А. Стеклова. 1967. 90, № 5. 3-210.
Kostin I.N. Rate of attraction to a non-hyperbolic attractor // Asymptotic Analysis. 1998. 16, N 3/4. 203-222.
Ладыженская О.А., Солонников В.А. О принципе линеаризации и инвариантных многообразиях для задач магнитной гидродинамики // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1973. 38. 46-93.
Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Физматлит, 2005.
Иванчиков А.А., Корнев А.А., Озерицкий А.В. О новом подходе к решению задач асимптотической стабилизации // Журн. вычислит. матем. и матем. физики. 2009. 49, № 12. 2167-2181.
Fursikov A.V. Local existence theorems with unbounded set of input data and unboundedness of stable invariant manifolds for 3D Navier-Stokes equations // Discrete and Continuous Dynamical Systems. Series S. 2010. 3, № 2. 269-290.
Fursikov A.V., Kornev A.A. Feedback stabilization for Navier-Stokes equations: theory and calculations // Mathematical Aspects of Fluid Mechanics. Lecture Notes Series. Cambridge: Cambridge University Press, 2012. 130-172.
Чижонков Е.В. Об операторах проектирования для численной стабилизации // Вычислительные методы и программирование. 2004. 5, № 1. 161-169.
Милютин С.В., Чижонков Е.В. О двух методах приближенного проектирования на устойчивое многообразие // Вычислительные методы и программирование. 2007. 8, № 1. 177-182.
